Окончил Саратовскую государственную консерваторию им. Л.В. Собинова по специальности «скрипка». В 1978 году окончил ассистентуру – стажировку при Саратовской консерватории. С 1993 года работает преподавателем по классу скрипки и альта. Студенты продолжают учёбу в лучших ВУЗах страны, таких как МГК им. П.И. Чайковского, ГКА Маймонида, ГМПИ им. М.М. Ипполитова-Иванова. Награждён Дипломом Министерства культуры Московской области, выступал на Юбилейном концерте в честь 60-летия Академического Большого концертного оркестра им. Ю.В. Силантьева, в Концертном зале им. П.И. Чайковского, постоянно выступает в городе Электросталь и в Московской области.
На втором международном конкурсе-фестивале в 2007 году «Современное искусство и образование» в номинации «камерный ансамбль» стал Дипломантом этого конкурса.
Ансамбль скрипачей под руководством Абуева М.А. в 2004 году получил Диплом Первого фестиваля «Новые имена Подмосковья» и был отмечен Благодарственным письмом Министерства культуры Московской области за участие в концертной программе, посвящённой 75-летию образования Московской области, в Кремлёвском дворце.
За заслуги в области музыкального искусства Президиум верховного Совета Дагестана наградил Абуева Мурада Ахмедовича Республиканской Государственной премией им. Гамзата Цадаса, а также присвоено звание Народного артиста Дагестана. За активную и плодотворную работу неоднократно награждался Почётными грамотами министерства культуры Московской области и администрации города Электросталь, награждён Почётным знаком губернатора Московской области Б.В. Громова «Благодарю» от 27 января 2005 года, благодарственными письмами администраций ДМШ и ДШИ Московской области.